Independent and dependent events and conditional probability

Bisher haben wir in diesem Kurs über die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse gesprochen. In diesem Video möchte ich die Gelegenheit nutzen, um den Unterschied zwischen unabhängigen und abhängigen Ereignissen zu untersuchen und zu untersuchen, wie wir die Wahrscheinlichkeit oder jedes dieser Ereignisse berechnen. Beginnen wir also mit einem kurzen Rückblick auf unabhängige Ereignisse, die einfach Ereignisse sind, die sich nicht gegenseitig beeinflussen. Wenn Sie zum Beispiel jedes Mal eine Münze werfen, wenn ich eine Münze werfe, können Sie sich das als einen Versuch oder ein Experiment vorstellen. Unabhängige Ereignisse sind Ereignisse, bei denen ein Versuch das Ergebnis des nächsten Versuchs nicht beeinflusst oder das Ergebnis eines Versuchs nicht von der beeinflusst wird Ergebnis des vorherigen Experiments. Das Werfen einer Münze ist ein großartiges Beispiel dafür, denn wenn ich eine Münze einmal umwerfe, sagt Nummer eins, dass ich entweder auf den Versuchskopf oder den Versuchskopf steigen kann, habe ich zwei Möglichkeiten. Angenommen, ich möchte die Münze noch einmal werfen. Wir werden hier Versuch Nummer zwei haben. Nehmen wir also an, ich habe im ersten Versuch Köpfe bekommen, ich habe Köpfe bekommen, ich nehme die Münze und wirf sie erneut für Versuch Nummer zwei. Nun, in diesem Fall kann ich entweder Köpfe bekommen oder Schwänze bekommen, wenn ich Schwänze beim ersten Wurf habe und dann die Münze aufnehme und ich sie erneut wirfe. Ich kann entweder Kopf oder Zahl bekommen. Und meine Optionen, meine Ergebnisse werden immer gleich sein, egal wie viele Versuche ich mache, auch wenn ich 20 Mal die Münze werfe. Jedes Mal, wenn ich die Münze umwerfe. Ich kann entweder Kopf oder Zahl bekommen, jeder Schlag wird von keinem der vor ihm liegenden Schläge beeinflusst. Wenn ich also die Münze für den zweiten Versuch umwerfe, wirf ich die Münze zum zweiten Mal um. Es spielt überhaupt keine Rolle, ob ich beim ersten Mal Köpfe oder Schwänze bekam. Ich habe immer noch einen fairen Flip und die gleiche Chance, Kopf oder Zahl zu bekommen. Mit anderen Worten, der zweite Versuch ist vom Ergebnis des ersten Versuchs völlig unberührt. Wenn ich beim ersten Flip Köpfe bekomme, ist es nicht wahrscheinlicher, dass ich beim zweiten Flip Köpfe bekomme, und es ist nicht wahrscheinlicher, dass ich beim zweiten Flip Schwänze bekomme, wenn Ich habe Schwänze beim ersten Flip. Es ist nicht wahrscheinlicher, dass ich beim zweiten Mal einen Kopf oder beim zweiten Mal einen Schwanz bekomme. Ich habe die gleiche Chance, beim zweiten Mal Kopf oder Zahl zu bekommen, unabhängig davon, ob ich beim ersten Mal Kopf oder Zahl habe. Es handelt sich also um unabhängige Ereignisse, da jede Studie keinerlei Auswirkungen auf die anderen Studien hat. Wir sehen dies mathematisch dargestellt, wenn wir die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse verwenden. Mit der Multiplikationsregel können wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln, mit der wir bei jedem unserer Versuche oder Experimente ein bestimmtes Ergebnis erzielen. Wenn wir zum Beispiel sagen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir beim ersten und beim zweiten Schlag Köpfe bekommen, dann erlaubt uns die Multiplikationsregel dies, weil wir sagen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir ein bestimmtes Ergebnis bekommen Versuch Nummer eins. Und wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei Versuch Nummer zwei ein bestimmtes Ergebnis erzielen, und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Dinge hintereinander passieren? Denken Sie daran, dass die Ereignisse unabhängig voneinander sind. Sie haben keinen Einfluss aufeinander. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt und Ereignis B in zwei getrennten Versuchen auftritt, sodass Ereignis A in Versuch Nummer 1 eintritt. Ereignis B in Versuch Nummer 2 eintritt, ist einfach die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von Ereignis B. Mit anderen Worten, wenn ich zwei Mal eine Münze wirf und wissen will, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ich Schwänze und dann Schwänze bekomme. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim ersten Flip den Schwanz bekommen. Nun, wir wissen, dass das die Hälfte ist, weil ich eine 50-prozentige Chance habe, mit einem einzigen Flip entweder Kopf oder Zahl zu bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich beim zweiten Mal einen Schwanz bekomme? Denken Sie daran, dass dies unabhängige Ereignisse sind. Wir verwenden die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse. Ich muss also überhaupt nicht an den ersten Flip denken. Versuch Nummer zwei ist im Grunde, ich werfe nur eine Münze. Wir können vergessen, dass der erste Versuch jemals stattgefunden hat. Also wirf ich nur eine Münze, mit welcher Wahrscheinlichkeit ich Schwänze bekomme. Nun, es ist immer noch eine Hälfte. Die Wahrscheinlichkeit, Schwänze zu bekommen, wird also gleich einer Hälfte multipliziert mit einer Hälfte oder einem Viertel oder einer 25-prozentigen Chance sein, und das sollte für uns Sinn machen, da wir uns die Wahrscheinlichkeit angesehen haben, zwei Schwänze zu bekommen, wenn wir eine drehen Münze zweimal und wir werfen eine Münze zweimal. Was sind all unsere möglichen Ergebnisse? Wir können Köpfe und dann Köpfe bekommen, wir können Köpfe und dann Schwänze bekommen, wir können Schwänze und dann Köpfe bekommen, oder wir können Schwänze und dann Schwänze bekommen. Dies sind die einzigen vier möglichen Ergebnisse, die wir erzielen können, wenn wir zweimal eine Münze werfen. Und wir wollten wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir Schwänze bekommen. Nun, es gibt vier mögliche Ergebnisse und nur eines, das die Kriterien erfüllt, an denen wir interessiert sind. Die Wahrscheinlichkeit ist also 1 von 4 oder 25 Prozent, was alles ist, was uns die Multiplikationsregel sagt. Sie gibt uns die Wahrscheinlichkeit, dass mehrere unabhängige Ereignisse in aufeinanderfolgenden Versuchen auftreten. Die andere Sache, die ich über unabhängige Ereignisse sagen möchte, ist, dass Ereignisse unabhängig sind und nicht, weil eine 50/50-Chance besteht, dass sie auftreten. Wir verwenden hier also das Beispiel des Münzwurfs. Und wenn Sie eine Münze werfen, haben Sie die gleiche Chance, Kopf oder Zahl zu bekommen. 50 Prozent Chance, Kopf oder Zahl zu bekommen. 50 Prozent Chance, eine Münze zu werfen, ist kein unabhängiges Ereignis, nur weil diese Wahrscheinlichkeiten gleich sind. Das Umwerfen einer Münze ist ein eigenständiges Ereignis, da ich eine Münze einmal umwerfen und dann erneut umwerfen kann. Und diese beiden Flips haben keinen Einfluss aufeinander. Ein anderes Beispiel könnte ein Basketballspieler sein, der Freiwürfe macht. Ein professioneller Basketballspieler könnte also eine Chance von 80 Prozent haben, einen bestimmten Freiwurf zu machen. Der Grund, warum wir das wissen, ist, dass dieser Basketballspieler in seiner beruflichen Laufbahn 20000 Freiwurftreffer gemacht hat. Im Laufe der Zeit haben wir gesehen, dass er ungefähr 80 Prozent davon macht. Wir sagen also, dass sein Freiwurf-Prozentsatz 80 Prozent beträgt. Wir wissen, dass er ungefähr 80 Prozent seiner Freiwürfe macht. Wenn dem so ist, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Freiwürfe hintereinander macht? Wir gehen davon aus, dass dies unabhängige Ereignisse sind. Der erste Freiwurf hat also keine Auswirkung darauf, ob er den zweiten Freiwurf macht oder nicht und umgekehrt. Jeder Freiwurf ist eine eigenständige Veranstaltung. Wenn wir also zu unserer Multiplikationsregel zurückkehren, da diese Ereignisse unabhängig sind und wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit von A und B gleich der Wahrscheinlichkeit von a multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von B ist, sagen wir, dass Ereignis A das ergibt Erster Freiwurf Event B ist der zweite Freiwurf. Und dann wollen wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A 80 Prozent beträgt. Er ist ein Freiwurfschütze von 80 Prozent. Wir können also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A 0 ist. 8. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B, mit der er Freiwurf Nummer 2 erzielt. Nun, er ist ein Freiwurfschütze von 80 Prozent. Also hat er bei jedem Schuss eine Chance von 80 Prozent. Also ist es wieder 0. 8. Wir können diese auch als acht von 10 oder 80 Prozent ausdrücken. Aber so oder so sagen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, ein A zu machen, gleich Nullpunkt acht mal Nullpunkt acht ist, was gleich Nullpunkt sechs vier oder 64 Prozent sein wird. Somit hat er eine 64-prozentige Chance, zwei Freiwürfe hintereinander zu machen. Manchmal ist das etwas verwirrend, wenn wir an einen Freiwurfschützen denken, der einen Freiwurfanteil von 80 Prozent hat. Warum sollte die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei in einer Reihe macht, weniger als 80 Prozent betragen? Warum wären es 64 Prozent und nicht immer nur 80 Prozent? Nun, wir können uns das so vorstellen, indem wir es extrem nehmen. Wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er eine Million Freiwürfe hintereinander ausführt, obwohl er zu 80 Prozent Freiwürfe schießt und eine Million Freiwürfe hintereinander ausführt, ist äußerst unwahrscheinlich. Er wird einen von denen dort irgendwo vermissen. Ich meine, er macht nur acht von zehn. Also zwei von zehn Schüssen, die er macht, verfehlt er historisch. Wenn er also eine Million Aufnahmen macht, wird er irgendwo welche verpassen. Je mehr wir wollen, dass er in einer Reihe ist, desto geringer ist die prozentuale Chance, dass er es tut. Mit anderen Worten, es ist weniger wahrscheinlich, dass er eine Million Schüsse hintereinander macht, als dass er 1000 Schüsse hintereinander macht. Es ist weniger wahrscheinlich, dass er 1000 Schüsse hintereinander macht, als dass er 10 Schüsse hintereinander macht. Je weniger Schüsse wir haben, desto wahrscheinlicher ist es, dass er sie alle macht. Obwohl er 80 Prozent aller Freiwürfe macht und ihn auffordert, zwei hintereinander zu machen, hat er nur eine Chance von 64 Prozent, dies zu tun. Beachten Sie, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Event 80 Prozent betrug, während hier eine Münze geworfen wurde. Wir haben Schwänze gerufen. Eine Art Erfolg, wenn man so will, und die Wahrscheinlichkeit für diesen Erfolg war 50 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit, einen Schwanz zu bekommen, war 50 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit, einen Freiwurf zu machen, war 80 Prozent. Es ist also nicht der Prozentsatz, der diese unabhängigen Ereignisse ausmacht, sondern die Tatsache, dass Freiwurf Nummer 1 keinen Einfluss auf Freiwurf Nummer zwei hat und umgekehrt. Und die Tatsache, dass Münzwurf Nummer eins keinen Einfluss auf Münzwurf Nummer zwei und umgekehrt hat. Das sind also unabhängige Ereignisse und wie Sie die Multiplikationsregel anwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass mehrere unabhängige Ereignisse auftreten. Jetzt wollen wir dies mit abhängigen Ereignissen kontrastieren. Das waren also alles unabhängige Ereignisse, und jetzt wollen wir abhängige Ereignisse betrachten. Abhängige Ereignisse sind Ereignisse, die sich gegenseitig beeinflussen. Das klassischste Beispiel ist das Ziehen von Karten aus einem Kartenspiel. Wenn Sie also ein Standard-Kartenspiel mit 52 Karten haben und sagen möchten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ich eine Karte aus dem Kartenspiel ziehe und es ein König ist, und dann ziehe ich eine weitere Karte aus dem Kartenspiel. Und es ist auch ein König. Mit anderen Worten, zwei Könige nacheinander aus dem Stapel zu ziehen, ohne die erste Karte zu ersetzen, und das ohne zu ersetzen, ist der Schlüssel, um diese abhängigen Ereignisse auszulösen. Das ist also, was wir meinen, wenn wir Umfrage Nummer eins haben oder Nummer eins und Nummer zwei vom Stapel ziehen und wir die Karten nicht ersetzen. Nun, die Wahrscheinlichkeit, einen König auf die Pole Nummer eins zu bekommen. Es gibt vier Könige in einem Kartenspiel mit 52 Karten. Es gibt also 52 mögliche Ergebnisse, aber nur vier sind für mich ein Erfolg. Die Wahrscheinlichkeit, einen König auf Pull Nummer 1 zu ziehen, ist also 4 von 52. Angenommen, ich lege die erste Karte nicht zurück. Halte es in meiner Hand. Ich möchte eine weitere Karte aus dem Stapel ziehen und diese Karte soll auch ein König sein. Nun, die Wahrscheinlichkeit, in der zweiten Umfrage einen König zu bekommen, ist nicht 4 von 52. Weil zwei Dinge. Es befinden sich keine 52 Karten mehr im Stapel. Es gibt nur 51 und nicht mehr vier Könige. Es gibt nur drei Könige. Die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung einen König zu ziehen, ist also nicht vier von 52. Jetzt sind es 3 von 51. Mit anderen Worten, was ich bei der ersten Umfrage aus dem Deck ziehe, wirkt sich auf das aus, was ich beim zweiten Zug aus dem Deck ziehen kann. Es hängt davon ab, ob ich einen König an der ersten Stange gezogen habe oder eine Sieben oder eine andere Karte gezogen habe. Ich ändere meine Optionen für Umfrage Nummer zwei. Das ist eine großartige Möglichkeit, darüber nachzudenken. Ich ändere meine Optionen. Die zweite Umfrage Meine Möglichkeiten Meine möglichen Ergebnisse sind für die zweite Umfrage nicht dieselben wie für die erste Umfrage. Hierbei handelt es sich um abhängige Ereignisse, die sich gegenseitig beeinflussen, wenn das Ergebnis des ersten Versuchs, des ersten Versuchs, einen Einfluss auf das Ergebnis des zweiten Versuchs oder des zweiten Versuchs hat. Beachten Sie jedoch, dass ich die Karte jedes Mal austausche, wenn ich Karten aus einem Stapel ziehe. Also ziehe ich zum Beispiel einmal, wenn ich eine Karte bekomme. Dann lege ich die Karte zurück in den Stapel. Ich mische das Deck, lege das Deck auf den Tisch und ziehe eine zweite Karte. Ich schaue das an. OK, ich lege das zurück in das Deck, mische das Deck erneut, lege das Deck auf den Tisch und ziehe eine dritte Karte. Das sind dann selbständige Ereignisse. Ich tausche die Karte jedes Mal aus. Das Deck wird neu gemischt. Meine Chancen werden also jedes Mal gleich sein, da ich in jeder Umfrage ein Kartenspiel mit 52 Karten habe und es zufällig gemischt wurde. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine Karte ziehe, jedes Mal gleich. Wenn ich die Karten nicht ersetze und immer wieder nacheinander aus dem Stapel ziehe, ändern sich meine Chancen, eine bestimmte Karte zu ziehen, zwischen den Versuchen. Welche Wahrscheinlichkeitsformel verwenden wir also für abhängige Ereignisse? Nun, es ist das Gleiche wie die Multiplikationsregel, wenn wir nach der Wahrscheinlichkeit von A und B suchen. Hier hatten wir eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide auftreten, wenn wir hier unabhängige Ereignisse haben. Wir sagen die Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide vorkommen, aber für abhängige Ereignisse ist diese Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass A vorkommt, multipliziert mit dieser neuen Notation, die wir vorher noch nicht gesehen haben und die so aussieht. Und dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, gegeben ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, da Ereignis A bereits eingetreten ist, wenn wir unabhängige Ereignisse haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreffen, ist also nur das Produkt der Wahrscheinlichkeit, dass A eintreffen, und der Wahrscheinlichkeit, dass B eintreffen, aber wenn es sich um abhängige Ereignisse handelt, die wir betrachten mit der Wahrscheinlichkeit, dass A und B beide auftreten, als die Wahrscheinlichkeit, dass A bei der ersten Umfrage auftritt. Man kann sich das als eigenständiges Ereignis vorstellen, weil vorher noch nichts passiert ist. Dies ist das erste Ereignis, das als erstes passiert. Aber dann müssen wir für das zweite Ereignis annehmen, dass Ereignis A bereits stattgefunden hat, da A und B abhängig sind. Wir können also nicht einfach mit der Wahrscheinlichkeit von Ereignis B multiplizieren, sondern müssen die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter der Annahme sagen, dass A bereits eingetreten ist. Wenn wir zum Beispiel diese beiden Könige hintereinander haben wollen, dann wäre Ereignis A ein König auf der Pole Nummer Eins. Ereignis B wäre ein König auf der Pole Nummer Zwei. Die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt. Nun, wenn wir Pull Nummer 1 haben, haben wir ein vollständiges Kartenspiel mit 52 Karten. Es gibt vier Könige auf dem Deck. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen König ziehen, ist vier von 52. Aber die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B annimmt, dass A bereits eingetreten ist, hängt von dem Ergebnis der Annahme ab, dass wir den König gezogen haben. Die Wahrscheinlichkeit, einen König zum zweiten Mal zu ziehen, ist drei, weil nur noch drei Könige im Deck sind, geteilt durch 51, weil insgesamt nur noch 51 Karten übrig sind. Daher können wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit von König und König Rücken an Rücken für mehr als 50 bis zur Wahrscheinlichkeit des Ereignisses a multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von B bei einem oder drei über 51 ist. Wir können diese Brüche tatsächlich auf die niedrigsten Werte reduzieren, denn über 52 ist das Gleiche wie 1 über 13 und 3 über 51 ist das Gleiche wie 1 über 17. Also ergibt 1 mal 1 im Zähler 1, 13 mal 17 im Nenner 221. Die Wahrscheinlichkeit, zwei Könige hintereinander zu ziehen, beträgt also 1 zu 221. Mit anderen Worten, es besteht eine Chance von weniger als 1 Prozent, einen König zweimal hintereinander zu ziehen.